拉普拉斯變換

　　發(fā)展歷史

　　法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天體力學(xué)和物理學(xué)。他認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一種解決問題的工具，但在運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)創(chuàng)造和發(fā)展了許多新的數(shù)學(xué)方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中總結(jié)了當(dāng)時(shí)整個(gè)概率論的研究，論述了概率在選舉、審判調(diào)查、氣象等方面的應(yīng)用，并導(dǎo)入“拉普拉斯變換”。拉普拉斯變換導(dǎo)致了后來海維塞德發(fā)現(xiàn)運(yùn)算微積分在電工理論中的應(yīng)用。[4]

　　公式概念

　　[5]拉普拉斯變換是對(duì)于t>=0函數(shù)值不為零的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)通過關(guān)系式

　　[6]

　　(式中st為自然對(duì)數(shù)底e的指數(shù))變換為復(fù)變量s的函數(shù)X(s)。它也是時(shí)間函數(shù)x(t)的“復(fù)頻域”表示方式。據(jù)此，在“電路分析”中，元件的伏安關(guān)系可以在復(fù)頻域中進(jìn)行表示，即電阻元件：V=RI,電感元件：V=sLI,電容元件：I=sCV。如果用電阻R與電容C串聯(lián)，并在電容兩端引出電壓作為輸出，那么就可用“分壓公式”得出該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

　　H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))

　　于是響應(yīng)的拉普拉斯變換Y（s）就等于激勵(lì)的拉普拉斯變換X（s）與傳遞函數(shù)H（s）的乘積，即

　　Y(s)=X(s)H(s)

　　如果定義：

　　f(t)是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)，使得當(dāng)t<0時(shí)候，f(t)=0；s是一個(gè)復(fù)變量；

　　mathcal是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，它代表對(duì)其對(duì)象進(jìn)行拉普拉斯積分int_0^inftye'dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯變換結(jié)果。

　　則f(t)，的拉普拉斯變換由下列式子給出：

　　F(s)，=mathcalleft=int_^inftyf(t)'e'dt拉普拉斯逆變換，是已知F(s)'求解f(t)的過程。用符號(hào)mathcal'表示。

　　拉普拉斯變換公式

　　拉普拉斯變換公式

　　拉普拉斯逆變換的公式是：

　　對(duì)于所有的t>0，

　　f(t)

　　=mathcal^left

　　=fracint_^F(s)'e'ds

　　c'是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值，是一個(gè)實(shí)常數(shù)且大于所有F(s)'的個(gè)別點(diǎn)的實(shí)部值。

　　為簡化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。

　　拉普拉斯變換

　　拉普拉斯變換

　　用f(t)表示實(shí)變量t的一個(gè)函數(shù)，F(xiàn)(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復(fù)變量s=σ+j&owega；的一個(gè)函數(shù)，其中σ和&owega;均為實(shí)變數(shù)，j2=-1。F(s)和f(t)間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：

　　如果對(duì)于實(shí)部σ>σc的所有s值上述積分均存在，而對(duì)σ≤σc時(shí)積分不存在，便稱σc為f(t)的收斂系數(shù)。對(duì)給定的實(shí)變量函數(shù)f(t)，只有當(dāng)σc為有限值時(shí)，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習(xí)慣上，常稱F(s)為f(t)的象函數(shù)，記為F(s)=L[f(t)]；稱f(t)為F(s)的原函數(shù)，記為f(t)=L-1[F(s)]。

　　函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)利用定義積分，很容易建立起原函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(s)間的變換對(duì)，以及f(t)在實(shí)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算與F(s)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)。

　　拉普拉斯變化的存在性：

　　為使F(s)存在，積分式必須收斂。有如下定理：

　　如因果函數(shù)f(t)滿足：（1）在有限區(qū)間可積，（2）存在σ0使|f(t)|e-σt在t&rarr;∞時(shí)的極限為0，則對(duì)于所有σ大于σ0，拉普拉斯積分式絕對(duì)且一致收斂。

　　基本性質(zhì)

　　線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、位移性質(zhì)、延遲性質(zhì)、初值定理與終值[1]

　　與傅立葉變換的聯(lián)系

　　令Re(s)=0，就可得到f(t)(t>=0)的傅立葉變換。之所以弄出一個(gè)-是使f(t)可以進(jìn)行傅立葉變換（因?yàn)閒(t)e^(-t)滿足了傅立葉變換的條件）但是這樣的變換改變了傅立葉變換中的原函數(shù)，別急，反變換時(shí)把關(guān)于的部分還原回去就好了(即把積分的dw變成包含了的ds)，這樣就可以積分出原函數(shù)來，但是這個(gè)過程是改變了原函數(shù)的傅立葉變換和改變積分因子的傅立葉反變換，就是拉普拉斯變換，此時(shí)的iw變成+iw，他的討論范圍就不再單單是頻率w而是一個(gè)復(fù)數(shù)(含有頻率)的平面的s。

　　應(yīng)用領(lǐng)域定理

　　有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，

　　拉普拉斯變換

　　拉普拉斯變換(10張)

　　在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。

　　應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，

　　可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來表示；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。